（2001年8月30日）
　カオスは、物理学だけのではなく、経済学、生物学、社会学、情報科学などさまざなま分野で研究されています。カオスは、より広く、複雑系と呼ばれています。複雑系の中にカオス、カオスの縁、フラクタルなどがあります。今回はカオスについて紹介します。

　カオスとは、日本語では混沌（こんとん）といいます。でも、かなり日常語的になってきました。科学におけるカオスとは、初期条件を少し変えると、その後の結果が全く予測がつかなくなる現象のことです。特別なものではなく、身近に一杯起こっていることです。
　例えば、有名なところでは、バタフライ効果というものがあります。ブラジルで蝶々が羽ばたくと、それが増幅されてアメリカで嵐が起きるというような比喩から生まれた言葉です。ほんのちょっとしたできごとが、最後にはとんでもないことに発展するということです。ジュラシックパークで、この原理を紹介し、使っています。でてくる数学者は、その説明を原作ではしています。余談ですが、この数学者は、第2作のロストワールドでは、主人公になっています。
　川の流れを見ていますと、大体同じようなところに同じような渦ができます。でも、毎回少しずつ違います。雲は似たものがたくさんありますが、けっして同じものがありません。海岸線も似たものがありますが、決して同じでありません。鍾乳洞でみた鍾乳石も規則正しい模様ができており、ここにもカオスが働いているなと感心したことがあります。このように複雑に見える現象が、実は簡単な仕組みできているようなのです。少し詳しく説明しましょう。
　こんな想像をして下さい。しっかり閉まらない蛇口があるとします。そこからは、いつも、ぱたぽたと水滴が落ちているとします。このような蛇口を使って頭中で実験しましょう。これを、思考実験といいます。
　蛇口を絞めて、水滴の落ちかたを1分間、観察したとしましょう。何度も何度もこの実験を繰り返したとします。すると、1分間の水滴の落ち方には、何通りかのパターンがあることが、わかったとします。
パターン1は、ぽたぽたの水滴が規則的（一定のリズム）に落ちます。
パターン2は、水滴ではなく水が線のようにつながって水流となって流れます。
パターン3は、ぽたぽたの水滴と水流が規則的（一定のリズム）に出てきます。
パターン4は、ぽたぽたの水滴が不規則に出てきます。
パターン5は、ぽたぽたの水滴と水流が不規則に出てきます。
パターン1と2、3は規則的です。ところが、パターン4と5はカオスと呼ばれるものです。
　この実験の初期条件は、蛇口の絞め方だけです。ですから、絞め方の違いによって、こぼれる水の量、つまり初期条件が違うのです。簡単な仕組みなのに、結果がいろいろな状態に変わりうるという例です。
　この蛇口の思考実験では、蛇口の閉まり方が、毎回似ているようで、実は違っているということがミソです。その結果が、どれになるかは、「蛇口の絞めぐわい」をみれば、わかるかも知れません。しかし、パターン4や5のときは、不規則なカオスなので、つぎが雫か水流かは、予測できません。カオスになるかならないかは、「蛇口の絞めぐわい」を正確に計れれば分かるかもしれません。でも、カオスになると、これは次に何が起こるかわからない状態つまり、予測不能になります。
　この蛇口の例でもわかるように、仕組みがわかっているのに、結果や次の状態が予測不能というものが、この世にはたくさんあることに、科学はやっと気付いたということです。
　このようは現象は、簡単な仕組みで作れます。あるいは数式でも簡単につくれます。ちょっと、数式を出します。頑張って読んでください。これは、ロジスティック写像と呼ばれるものです。
　y=ax(1-x)
という簡単な式があります。aはある定数です。4以下の値としましょう。xは変数で、yは、xによって決まる値です。なお、xは1から0の間の値にします。
　この式のa=3.5とします。まず、xに0.3を入れます。すると、
　y=3.5x0.3(1-0.3)=0.735
となります。これが1回目の計算となります。
次に、2回目の計算では、このyの0.735という値を、xの次の値とします。計算式は、
　y=3.5x0.735(1-0.735)
となります。これを何回も繰り返していきます。すると、aの値によって、yの値の変化が、複雑な振る舞いをします。
　マイクロソフトのエクセルなどで簡単に計算できます。多くの読者はエクセルをお持ちだと思いますので、エクセルのファイルを紹介します。ダウンロードしてみて下さい。
http://www.cominitei.com/koide/5Research/chaos.xls
このファイルでは、aに3.5699456という値を入れた例を示しています。この表のaとxの値を、いろいろ変えて遊んでみてください。aに数値を入れると、自動で1000個の計算をし、グラフを書きます。グラフは、横軸に計算の回数、縦軸はyの値をとっています。カオスになるかならないかの微妙なところになると、もっと計算をたくさんしなければなりませんが、このままでも結構楽しめます。
　結果を紹介しましょう。
aが0より大きく、1以下（0＜a≦1）のとき、xは0（x=0）になります。
aが1より大きく、2以下（1＜a≦2）のとき、xはすんなりと(a-1)/aという値になります。
aが2より大きく、3以下（2＜a≦3）のとき、xは振動しながら(a-1)/aという値になります。
aが1+√6以下（3＜a≦1+√6）のとき、xは少しずつ値を大きくしながら、最終的には、ある2つの値を行ったり来たり（周期的）します。
aが1+√6以上のとき、xはでたらめな値、つまりカオスとなります。
aが3.5699456…いう値（1+√6）の時、カオスと規則性の境界となります。カオスの縁です。
　初期条件として決まった数値であればいいのですが、決まった値ではなく「カオスの縁」あたりの時、水滴に例で出てきた、規則と不規則が入り乱れた不思議な現象が起きるのです。こんな簡単な式ですが、そこにカオスという現象が隠れていたのです。
　このようにカオスは複雑系の研究は、最近になって発達した学問分野です。そして、非常に身近なところに、カオスは潜んでいたことがわかってきたのです。